Бином Ньютона
Почему формула бинома носит имя И. Ньютона?
Иссак Ньютон – первый ученый, который стал систематически использовать известную до него формулу разложения алгебраической суммы двух слагаемых различной степени для действительных показателей: положительных и отрицательных, рациональных и иррациональных.
Верно ли исторически название «Бином Ньютона»?
Распространение известной формулы на действительные показатели – большой шаг вперед в развитии математики, поэтому формулу назвали в честь Ньютона. Я считаю, что историческое название «бином Ньютона» обоснованно.
Формула бинома Ньютона и арифметический треугольник имеют и другие названия:
- треугольник Хайяма в Иране
- треугольник Ян Хуэя в Китае
- треугольник Тартальи в Италии
Бином называют именем Ньютона, но формула была открыта ещё до Ньютона и арифметический треугольник был построен до Паскаля. Поэтому в других странах можно встретить различные названия.
Применение формулы бинома Ньютона в математике и других науках
Комбинаторика
Задача: В вазе лежат двенадцать конфет, четыре из которых шоколадные, а остальные карамель. Вы хотите угоститься, выбрав две шоколадные и три карамельные конфеты. Сколькими способами вы можете это сделать?
Решение:
Мы имеем два события. Это выбор шоколадных и выбор карамельных конфет. Порядок конфет не важен. Поэтому мы можем использовать формулу сочетания для каждого из событий. Так, как шоколадных конфет всего четыре, а выбрать мы хотим две, то это можно сделать способами .
1)
Теперь посчитаем количество выбора карамельных конфет. Их общее количество в вазе 12-4=8, а выбрать мы хотим три. Рассчитаем сочетание из восьми по три.
2)
События выбора разных видов конфет между собой независимы, поэтому по правилу умножения получаем
3)
Ответ: 336
Разложение степени двучлена:
Представить разложение двучлена в n степени в виде многочлена, где n=0, 1, 2, …,5
Решение:
Первые четыре разложения мы хорошо умеем делать, используя формулы квадрата и куба разности.
А для представления бинома четвертой и пятой степени воспользуемся треугольником Паскаля.
Бином Ньютона, в частности, биномиальные коэффициенты, нашел свое практическое применение во многих сферах жизни человека, связанных с расчетами и это далеко не только абстрактная математика. Любая естественная наука, которая использует элементы комбинаторики, пользуется биномиальными коэффициентами.
